Question

已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，0≤φ≤

π

2

）的图象与y轴相交于点（0，

3

+1），且函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-

π

2

，

π

2

]时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-k=0（k∈R）在区间[-

π

2

，

π

2

]上恰有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ，可得函数的解析式．
（Ⅱ）令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈z，求得x的范围，再结合x∈[-

π

2

，

π

2

]时，可得函数f（x）的单调递减区间
（Ⅲ）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k在区间[-

π

2

，

π

2

]上恰有两个不同的交点，数形结合求得故k的范围．

解答： 解：（Ⅰ）由函数的最小正周期为

2π

ω

=π，可得ω=2．
把点（0，

3

+1）代入函数
f（x）=2cos（ωx+φ）+1，可得cosφ=

3

2

，
再结合0≤φ≤

π

2

，可得φ=

π

6

，
∴f（x）=2cos（2x+

π

6

）+1．
（Ⅱ）令2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+π，k∈z，
求得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
故函数f（x）的减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z．
再结合x∈[-

π

2

，

π

2

]时，可得函数f（x）的单调递减区间为[-

π

12

，

5π

12

]．
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）-k=0（k∈R）在区间[-

π

2

，

π

2

]上恰有两个不相等的实数根，
则函数f（x）的图象和直线y=k在区间[-

π

2

，

π

2

]上恰有两个不同的交点，如图所示：
故k的范围为{k|-1＜k＜3，且k≠1-

3

 }．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，余弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．