Question

已知函数f（x）=

1-m•2x

1+m•2x

，若函数f（x）满足|f（x）|≤3对任意x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：令2^x=t，换元得f（t）=

1-mt

1+mt

，然后由题意|f（x）|≤3得|

1-mt

1+mt

|≤3，化简求出m的范围．

解答： 解；令2^x=t，x∈[0，1]，则t∈[1，2]，则f（t）=

1-mt

1+mt

，
由题意|f（x）|≤3得|

1-mt

1+mt

|≤3，化简如下：
|1-

2mt

1+mt

|≤3，
|

2mt

1+mt

-1|≤3，
-3≤

2mt

1+mt

-1≤3，
-2≤

2mt

1+mt

≤4，
-1≤

mt

1+mt

≤2，
-1≤1-

1

mt+1

≤2，
-2≤-

1

mt+1

≤1，
-1≤

1

mt+1

≤2，
mt+1≠0则-1≤mt+1＜0或0＜mt+1≤

1

2

，
即

-2

t

≤m＜

-1

t

，或

-1

t

＜m≤

1

-2t

，
又t∈[1，2]，
∴-2≤m≤-1．

点评：本题考查函数的恒成立问题，首先是对函数的化简，然后将恒成立问题转化为最值处理．