题目内容
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4，BC=2，AB=2AA1=2| 3 |
（1）求证平面AEB⊥平面B1FC1
（2）当点F位于BC何处时，C1F∥平面AEB？并求出此时三棱锥C1-B1EF的体积．
考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）首先，证明AB⊥平面BB1C1C，然后，得到结论；
（2）可以取B1C1的中点H，连结EH，从而得EH⊥平面BB1C1C，最后，结合体积公式求解．
（2）可以取B1C1的中点H，连结EH，从而得EH⊥平面BB1C1C，最后，结合体积公式求解．
解答：
（1）证明：在△ABC中，∵AC=4，BC=2，AB=2AA1=2
，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC．…（3分）
由已知AB⊥BB1，BB1∩BC=B，
∴AB⊥平面BB1C1C．…（5分）
又∵AB?平面ABE，
故平面ABE⊥平面BB1C1C，
即平面AEB⊥平面B1FC1．…（7分）
（2）解：如图
在B1C1上取点H，使HC1=2B1H，连结EH，
则EH∥AB且EH=
AB=
，
要使C1F∥平面AEB，只要C1F∥HB，
所以只要BF=2FC即可；
由（1）AB⊥平面BB1C1C，
∴EH⊥平面BB1C1C，且EH=
AB=
，
∴VC1-B1EF=VE-B1C1F=
S△B1C1F•EH=
×
×2×2
×
=
．…（14分）
（1）证明：在△ABC中，∵AC=4，BC=2，AB=2AA1=2| 3 |
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC．…（3分）
由已知AB⊥BB1，BB1∩BC=B，
∴AB⊥平面BB1C1C．…（5分）
又∵AB?平面ABE，
故平面ABE⊥平面BB1C1C，
即平面AEB⊥平面B1FC1．…（7分）
（2）解：如图
在B1C1上取点H，使HC1=2B1H，连结EH，
则EH∥AB且EH=
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要使C1F∥平面AEB，只要C1F∥HB，
所以只要BF=2FC即可；
由（1）AB⊥平面BB1C1C，
∴EH⊥平面BB1C1C，且EH=
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∴VC1-B1EF=VE-B1C1F=
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点评：本题重点考查了空间中平面和平垂直的判定定理、空间几何体的体积计算等知识，属于中档题．
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2，则（ ）
| 1 |
| 2 |
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