Question

已知直线y=x+2，点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，求点P到该已知直线的最小距离．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：由导数求出与直线y=x+2平行，且与曲线y=x²-lnx相切的直线方程，然后由两平行线间的距离公式得答案．

解答： 解：设P（x₀，y₀）（x₀＞0），
由y=x²-lnx，得y′=2x-

1

x

，∴y′|x=x0=2x0-

1

x0

，
由2x0-

1

x0

=1，得x0=-

1

2

（舍）或x₀=1．
当x₀=1时，y₀=1．
∴曲线y=x²-lnx在x=1处与y=x+2平行的切线方程为y-1=x-1，即y=x．
则点P到该已知直线的最小距离为

|2|

12+(-1)2

=

2

．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了数学转化思想方法，训练了两平行线间的距离公式的运用，是基础题．