Question

5．函数f（x）对于x＞0有意义，且当x＞1时，f（x）＞0，f（2）=1，满足f（xy）=f（x）+f（y）
（1）证明：f（1）=0．
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（3）若f（x）+f（x-2）≥2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别对x=y=1赋值，即可证f（1）=0；
（2）根据函数单调性的定义讨论函数的单调性；
（3）f（x）+f（x-2）≥2，可化为$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-2＞0\\{x}^{2}-2x≥4\end{array}\right.$，解得答案．

解答 证明：（1）∵对于任意x，y∈（0，+∞），有f（x•y）=f（x）+f（y）
∴可令x=y=1，则有f（1）=f（1）+f（1），
即f（1）=0．
（2）设任意实数x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0，
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•x₂）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）是单调增函数；
（3）∵f（2）=1，
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
若f（x）+f（x-2）=f（x²-2x）≥2=f（4）成立，
则$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-2＞0\\{x}^{2}-2x≥4\end{array}\right.$，
解得：x∈[1+$\sqrt{5}$，+∞）

点评 考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，属中档题．