Question

已知点P是圆F₁：（x+

3

）²+y²=4上任意一点，点F₂与点F₁关于原点对称．线段PF₂的中垂线与PF₁交于M点，则点M的轨迹C的方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先确定F₁、F₂的坐标，再根据线段PF₂的中垂线与PF₁交于M点，结合双曲线的定义，可得点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的双曲线，从而可得点M的轨迹C的方程．

解答： 解：由题意得，F1(-

3

，0)，则F2(

3

，0)，
圆F₁的半径|PF₁|=2，且|MF₂|=|MP|，
当|MF₁|＞|MF₂|时，|MF₁|-|MF₂|=|MF₁|-|MP|=|PF₁|=2＜2

3

=|F₁F₂|；
当|MF₁|＜|MF₂|时，|MF₂|-|MF₁|=|MP|-|MF₁|=|PF₁|=2＜2

3

=|F₁F₂|．
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的双曲线，其中实轴2a=2，焦距2c=2

3

，
则虚半轴b=

c2-a2

=

2

，
双曲线方程为：x2-

y2

2

=1．
故答案为：x2-

y2

2

=1．

点评：本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线方程的求法，是中档题．