Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 求证：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+

m

2

](f′(x)是f（x）的导函数）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=-1时，解f′（x）＞0求得函数的增区间，解f′（x）＜0 求得函数的减区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x＞1时f（x）＞f（1），即0＜lnx＜x-1对一切x＞1成立．根据n≥2，n∈N^*时0＜lnn＜n-1，可得0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，由此证得不等式成立．
（Ⅲ）先求得a的值，可得f（x）的解析式，再根据g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，可得

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，由此求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，f′（x）=

x-1

x

 （x＞0），解f′（x）＞0得 x∈（1，+∞）；
解f′（x）＜0 得x∈（0，1）．
f（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．
（Ⅱ）证明如下：由（Ⅰ）可知当x＞1时f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴0＜lnx＜x-1对一切x＞1成立．
∵n≥2，n∈N^*，则有0＜lnn＜n-1，∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

．
∴

ln2

2

•

ln3

3

•

ln4

4

…

lnn

n

＜

1

2

•

2

3

•

3

4

…

n-1

n

=

1

n

 （n≥2，n∈N^*）．
（Ⅲ）∵f′（x）=

a(1-x)

x

 （x＞0），∴f′（2）=-

a

2

=1 得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3，
g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2．
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由题意知：对于任意的t∈[1 2]，g′（t）＜0恒成立，∴

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴-

37

3

＜m＜-9．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于难题．