Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{5}$，从C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• D． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 利用双曲线的离心率以及三角形的面积求解双曲线方程中的a，b，即可求解双曲线方程．

解答 解：因为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{5}$，所以${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=5$，解得b=2a，从C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，可得$\frac{1}{2}ab=1$，解得a=1，b=2，
∴双曲线方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．