Question

16．函数y=2sinωx+2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为2π，若x∈（0，$\frac{π}{2}$），则函数取得最大值时的x=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 化函数y为正弦型函数，根据y的最小正周期求出ω的值，
写出y的解析式，求出x∈（0，$\frac{π}{2}$）函数y取得最大值时对应x的值．

解答 解：函数y=2sinωx+2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）
=2sinωx+2sinωxcos$\frac{π}{3}$+2cosωxsin$\frac{π}{3}$
=3sinωx+$\sqrt{3}$cosωx
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）
=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{6}$），（ω＞0）；
∴y的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=2π，
解得ω=1，∴y=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）；
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
当x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，函数y取得最大值为2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．