Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、E₁、F₁分别为AB、AD、A₁B₁、A₁D₁的中点． 
（1）求证：平面BDD₁B₁∥平面EFF₁E₁； 
（2）求平面BDD₁B₁与平面EFF₁E₁之间的距离．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：对第（1）问，先证EF∥平面BB₁D₁D，同理有EE₁∥平面BB₁D₁D，即可得平面BDD₁B₁∥平面EFF₁E₁．
对第（2）问，取BD的中点O，连结AO，交EF于M，由（1）知，平面BDD₁B₁∥平面EFF₁E₁，设它们之间的距离为d，则d=

1

2

|AO|，即可得两平行平面间的距离．

解答： 解：（1）证明：∵E、F、E₁分别为AB、AD、A₁B₁的中点，
∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BD，
∵EF?平面BDD₁B₁，BD?平面BDD₁B₁，∴EF∥平面BDD₁B₁．
同理，EE₁为正方形ABB₁A₁的中位线，有EE₁∥BB₁，得EE₁∥平面BDD₁B₁，
∵EF∩EE₁=E，∴平面EFF₁E₁∥平面BDD₁B₁．
（2）取BD的中点O，连结AO，交EF于M，如右图所示，则AO⊥BD，AO⊥EF，
由（1）知，平面BDD₁B₁∥平面EFF₁E₁，∴|OM|为平面BDD₁B₁与平面EFF₁E₁之间的距离，
根据正方体的棱长为a知，|OM|=

1

2

|AO|=

2

4

a，
即平面BDD₁B₁与平面EFF₁E₁之间的距离为

2

4

a．

点评：本题考查了面面平行的判定方法及两平行平面间的距离，一般的处理思路是：
1．面面平行的判定：将面面平行问题转化为线面平行问题，即由线面平面⇒面面平行，而线面平行又可转化为线线平行问题，从而将空间位置关系转化为平面内线与线的位置关系．
2．利用定义法求两平行平面间的距离：第一步，作出公垂线段；第二步，求公垂线段的长，即得距离．