Question

判断函数y=ax+

b

x

（a＞0，b＞0）是否有对称轴，如果有，求出对称轴，如果没有，请说明理由．

Answer 1

考点：奇偶函数图象的对称性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，不妨设对称轴为y=kx，从而可得点（x，y）关于y=kx的对称点为（

2ky+x-k2x

k2+1

，

k2y-y+2kx

k2+1

），从而得到a

2ky+x-k2x

k2+1

+

b(k2+1)

2ky+x-k2x

-

k2y-y+2kx

k2+1

=0，化简可得[4ak²-2k（k²-1）]y²+[a（k²-1）²+（k²-1）2k]x²-[4ak（k²-1）+4k²-（k²-1）²]xy+b（k²+1）²=0对任意x，y都成立，从而推出矛盾．

解答： 解：∵函数y=ax+

b

x

的对称中心为原点，
∴若函数y=ax+

b

x

有对称轴，
则对称轴过原点，
由题意不妨设为y=kx，
则设点（x，y）在函数y=ax+

b

x

的图象上，
则点（x，y）关于y=kx的对称点为（

2ky+x-k2x

k2+1

，

k2y-y+2kx

k2+1

），
则a

2ky+x-k2x

k2+1

+

b(k2+1)

2ky+x-k2x

-

k2y-y+2kx

k2+1

=0可化为
a（2ky+x-k²x）²+b（k²+1）²-（2ky+x-k²x）（k²y-y+2kx）=0，
即[4ak²-2k（k²-1）]y²+[a（k²-1）²+（k²-1）2k]x²-[4ak（k²-1）+4k²-（k²-1）²]xy+b（k²+1）²=0对任意x，y都成立，
则4ak²-2k（k²-1）=0，
a（k²-1）²+（k²-1）2k=0，
4ak（k²-1）+4k²-（k²-1）²=0，
b（k²+1）²=0，
则b=0，与题矛盾；
故没有对称轴．

点评：本题考查了函数图象的对称性的判断，化简很困难，属于难题．