Question

12．已知函数f（x）=|x²+3x|，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）∪（9，+∞）．

Answer 1

分析 由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，作出函数y=f（x），y=a|x-1|的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：由y=f（x）-a|x-1|=0得f（x）=a|x-1|，
作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x-1|的图象，
当a≤0，f（x）≥0，g（x）≤0，两个函数的图象
不可能有4个交点，不满足条件；
则a＞0，此时g（x）=a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{a（x-1），x≥1}\\{-a（x-1），x＜1}\end{array}\right.$，
当-3＜x＜0时，f（x）=-x²-3x，g（x）=-a（x-1），
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时-x²-3x=-a（x-1），
即x²+（3-a）x+a=0，
则由△=（3-a）²-4a=0，即a²-10a+9=0，
解得a=1或a=9，
当a=9时，g（x）=-9（x-1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，
要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，
若a＞1，此时g（x）=-a（x-1）与f（x），有两个交点，
此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，
即x²+3x=a（x-1），整理得x²+（3-a）x+a=0，
则由△=（3-a）²-4a＞0，即a²-10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，
综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞）．
故答案为：（0，1）∪（9，+∞）．

点评 本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．