Question

3．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD，O为AD边的中点，点M在线段PC上．
（1）证明：平面POB⊥平面PAD；
（2）若$AB=2\sqrt{3}，PA=\sqrt{7}，PB=\sqrt{13}$，PA∥平面MOB，求二面角M-OB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD，证明AD⊥PO，AD⊥BO，推出AD⊥平面POB，然后证明面POB⊥平面PAD．
（2）连接AC，交OB于点N，连接MN，证明以PA∥MN，以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面BOM的法向量，平面OBC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角M-OB-C的余弦值．

解答 证明：（1）连接BD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以△ABD是正三角形，…（1分）
因为O为AD边的中点，PA=PD，
所以AD⊥PO，AD⊥BO，PO∩BO=O，

所以AD⊥平面POB，…（3分）
因为AD?平面PAD，
所以平面POB⊥平面PAD．  …（5分）

（2）解：连接AC，交OB于点N，连接MN，

因为PA∥平面MOB，所以PA∥MN，…（6分）
易知点N为ABD的重心，所以$AN=\frac{1}{3}AC$，
故$PM=\frac{1}{3}PC$，…（7分）
因为$AB=2\sqrt{3}$，$PA=PD=\sqrt{7}$，
所以OB=3，OP=2，因为$PB=\sqrt{13}$，
所以∠POB=90°，即OP⊥OB，
以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则O（0，0，0），B（0，3，0），$C（-2\sqrt{3}，3，0）$，P（0，0，2），则$\overrightarrow{OB}=（0，3，0）$，$\overrightarrow{PC}=（-2\sqrt{3}，3，-2）$，

所以$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$=$（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}，1，\frac{4}{3}）$，…（9分）
设$\overrightarrow m=（x，y，z）$为平面BOM的法向量，由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{OM}$可求得$\overrightarrow m=（2，0，\sqrt{3}）$，
易知，$\overrightarrow n=（0，0，1）$为平面OBC的一个法向量，…（10分）
所以$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（11分）
因为二面角M-OB-C为锐角，所以二面角M-OB-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的应用，直线与平面平行于垂直的判断，考查空间想象能力以及计算能力．