Question

7．如图，某地区有一块长方形植物园ABCD，AB=8（百米），BC=4（百米），植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG满足下列要求：E在CD的延长线上，H在BA的延长线上，DE=0.5（百米），AH=4（百米），N为AH的中点，FN⊥AH，EF为曲线段，它上面的任意一点到AD与AH的距离乘积为定值，FG，GH均为线段，GH⊥HA，GH=0.5（百米）．
（1）求四边形FGHN的面积；
（2）已知音乐广场M在AB上，AM=2（百米），若计划在EFG的某一处P开一个植物园大门，在原植物园ABCD内选一点Q，为中心建一个休息区，使得QM=PM，且∠QMP=90°，问点P在何处，AQ最小．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，根据E点坐标得出曲线EF的方程，从而得出F点坐标，代入梯形的面积公式即可；
（2）设P（x，y），用x，y表示出$\overrightarrow{MQ}$，$\overrightarrow{AQ}$，根据Q点位置求出x的范围得出P在曲线EF上，利用距离公式和基本不等式的性质得出AQ最小时的x的值即可得出P点位置．

解答 解：（1）以A为原点，以AB，AD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示：
则E（-$\frac{1}{2}$，4），∴曲线EF的方程为y=-$\frac{2}{x}$，
∴F（-2，1），N（-2，0），H（-4，0），G（-4，$\frac{1}{2}$），
∴FN=1，GH=$\frac{1}{2}$，HN=2，
∴四边形FGHN的面积为S=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}+1）×2$=$\frac{3}{2}$（平方百米）．
（2）设P（x，y），则$\overrightarrow{MP}$=（x-2，y），$\overrightarrow{MQ}$=（y，2-x），$\overrightarrow{AQ}$=（2+y，2-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤2+y≤8}\\{0≤2-x≤4}\end{array}\right.$，解得-2≤x≤2，
∴P点在曲线EF上，-2≤x≤-$\frac{1}{2}$，∴y=-$\frac{2}{x}$，
∴|AQ|=$\sqrt{（2+y）^{2}+（2-x）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-4x-\frac{8}{x}+8}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}-4（x+\frac{2}{x}）+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}-2）^{2}}$=-x-$\frac{2}{x}$+2≥2$\sqrt{2}$+2，
当且仅当-x=$\frac{2}{-x}$即x=-$\sqrt{2}$时取等号．
∴当P为（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）时，|AQ|最小．

点评 本题考查了平面向量的应用，不等式的性质，属于中档题．