Question

16．在二项式（1+$\frac{x}{2}$）⁸的展开式中，x³的系数为m，则${∫}_{0}^{1}$（mx+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx=$\frac{7}{2}$+$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根据二项式定理可求出m的值，再根据定积分的计算法则和定积分的几何意义即可求出．

解答 解：二项式（1+$\frac{x}{2}$）⁸的展开式中，x³的系数为m=C₈³（$\frac{1}{2}$）³=7，
${∫}_{0}^{1}$（7x）dx=$\frac{7}{2}$x²|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{7}{2}$，
${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，
故${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$（7x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）dx=$\frac{7}{2}$+$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{7}{2}$+$\frac{π}{4}$

点评 本题考查了定积分计算和二项式的系数，以及定积分的几何意义，属于中档题．