Question

16．已知数列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）．
（1）求证：数列{a_n+a_n-1}为等比数列
（2）求数列{n•a_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （1）由a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），变形为a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），即可证明．
（2）由（1）可得：a_n+a_n-1=7×3^n-2，同理可得：a_n-3a_n-1=（-1）^n-1×13，联立解得a_n=$\frac{1}{4}$[3^n-1×7+（-1）^n-1×13]．利用分组求和、“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），∴a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
∵a₁+a₂=7，∴数列{a_n+a_n-1}为等比数列，首项为7，公比为3．
（2）解：由（1）可得：a_n+a_n-1=7×3^n-2，
同理可得：a_n-3a_n-1=（-1）^n-1×13．
联立解得a_n=$\frac{1}{4}$[3^n-1×7+（-1）^n-1×13]．
∴T_2n=a₁+2a₂+…+（2n-1）a_2n-1+2na_2n=$\frac{7}{4}$[1+2×3+…+（2n-1）×3^2n-2+2n×3^2n-1]+$\frac{13}{4}$[1+2×（-1）¹+…+（2n-1）×（-1）^2n-2+2n×（-1）^2n-1]，
利用“错位相减法”可得：T_2n=$\frac{7+（28n-7）•{9}^{n}}{16}$-$\frac{13n}{4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”、“分组求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．