Question

1．已知正实数a，b满足$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$=1，则a+b的取值范围是[$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得a+b=$\frac{1}{2}$[（a+2）+（a+2b）]-1=$\frac{1}{2}$[（a+2）+（a+2b）]（$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$）-1，展开后运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围．

解答 解：由正实数a，b满足$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$=1，
可得a+b=$\frac{1}{2}$[（a+2）+（a+2b）]-1=$\frac{1}{2}$[（a+2）+（a+2b）]（$\frac{2}{a+2}$+$\frac{1}{a+2b}$）-1
=$\frac{1}{2}$[3+$\frac{2（a+2b）}{a+2}$+$\frac{a+2}{a+2b}$]-1≥$\frac{1}{2}$[3+2$\sqrt{\frac{2（a+2b）}{a+2}•\frac{a+2}{a+2b}}$]-1
=$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）-1=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$．
当且仅当$\frac{2（a+2b）}{a+2}$=$\frac{a+2}{a+2b}$，即a=$\sqrt{2}$，b=$\frac{1}{2}$时，取得等号．
则a+b的取值范围是[$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案为：[$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查基本不等式的运用：求取值范围，注意运用变形和乘1法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．