题目内容
已知函数f（x）=2
cosxsinx+2cos2x
（1）求f（
）的值；
（2）当x∈[0，
]时，求函数f（x）的值域．
| 3 |
（1）求f（
| 4π |
| 3 |
（2）当x∈[0，
| π |
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用
专题：计算题,三角函数的图像与性质
分析：（1）利用三角函数的倍角公式及两角和公式对函数解析式化简，然后把x=
带入函数解析式求得答案．
（2）根据已知条件求得2x+
的范围，最后根据正弦函数的单调性取得函数的值域．
| 4π |
| 3 |
（2）根据已知条件求得2x+
| π |
| 6 |
解答：
解：（1）f（x）=2
cosxsinx+2cos2x=
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+
）+1
∴f（
）=2sin（
+
）+1=2sin
+1=2sin
+1=2
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+
）+1
∵x∈[0，
]
∴2x+
∈[
，
]
∴-
≤sin（2x+
）≤1
∴0≤2sin（2x+
）+1≤3，
即f（x）的值域是[0，3]
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f（
| 4π |
| 3 |
| 8π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 17π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴0≤2sin（2x+
| π |
| 6 |
即f（x）的值域是[0，3]
点评：本题主要考查了三角函数中恒等变换的运用．一般步骤是先化简，在根据三角函数的基本性质求得问题的解决．
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