Question

某小商品2013年的价格为8元/件，年销量为a件，现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格为4元/件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k，该商品的成本价格为3元/件．
（1）写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；
（2）设k=2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）先根据题意设商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+

k

x-4

）件，即可求出经销商的年收益y与实际价格x的函数关系式；
（2）依题意保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%，得到关于x的不等关系，解此不等式即得出结论．

解答： 解：（1）设该商品价格下降后为x元/件，销量增加到（a+

k

x-4

）件，
年收益y=（a+

k

x-4

）（x-3）（5.5≤x≤7.5），
（2）当k=2a时，依题意有（a+

2a

x-4

）（x-3）≥（8-3）a×（1+20%），
解之得x≥6或4＜x≤5，
又5.5≤x≤7.5，
所以6≤x≤7.5，
因此当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%．

点评：本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．