Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示．
（1）写出函数f（x），x∈R的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数的奇偶性和已知的x≤0时解析式，求出函数在x＞0时的解析式，得到本题结论；（2）由（1）的结论得到函数g（x）的解析式，再通过分类讨论研究二次函数在区间上的值域，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∵当x≤0时，f（x）=x²+2x，
∴当x＞0时，-x＜0，
f（x）=-f（-x）=-[（-x）²+（-x）]=-x²+2x，
∴f(x)=

x2+2x，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

．
（2）∵函数g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，
∴g（x）=-x²+（2-2a）x+2，x∈[1，2]，
当1-a≤1时，[g（x）]_max=g（1）=3-2a；
当1＜1-a≤2时，[g（x）]_max=g（1-a）=a²-2a+3；
当1-a＞2时，[g（x）]_max=g（2）=2-4a．
∴[g（x）]_max=

3-2a，(a≥0) a2-2a+3，(-1≤a＜0) 2-4a，(a＜-1)

．

点评：本题考查了函数的奇偶性、函数解析式、二次函数在区间上的值域，本题难度不大，属于基础题．