Question

已知函数f（x）=x²+2alnx，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数g（x）=

2

x

+f（x）在[1，2]上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

，由f'（2）=1，能求出a，再求出f（1），f′（1），由点斜式写出切线方程；
（Ⅱ）由g（x）=

2

x

+x²+2aln x得g′（x）=-

2

x2

+2x+

2a

x

，建立新函数，求出其最小值，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

，
由已知f′（2）=1，解得a=-3．…（2分）
所以f（x）=x²-6lnx，f′（x）=2x-

6

x

，因为f′（1）=-4，f（1）=1，
所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=-4（x-1），即4x+y-5=0．…（6分）
（Ⅱ）由g（x）=

2

x

+x²+2aln x得g′（x）=-

2

x2

+2x+

2a

x

，…（7分）
因为函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g′（x）≤0在[1，2]上恒成立，即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．…（9分）
令h（x）=

1

x

-x2，在[1，2]上h′（x）=-

1

x2

-2x=-（

1

x2

+2x）＜0，
所以h（x）在[1，2]上为减函数，h（x）_min=h（2）=-

7

2

，所以a≤-

7

2

．…（12分）

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了数形结合思想，是一道综合题，属于中档题．