Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（Ⅰ）已知a=6，且g（x）=f（x）-f′（x）+3x²，求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1+

2

，+∞）是增函数，导函数f′（x）在（-∞，1]上是减函数，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）g（x）=f（x）-f′（x）+3x²=x³-6x²+9x+3，g′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；从而确定函数的单调区间；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax-3；则f（x）在[1+

2

，+∞）上是增函数可化为f′（x）≥0在[1+

2

，+∞）恒成立，从而求解．

解答： 解：（Ⅰ）当a=6时，
g（x）=f（x）-f′（x）+3x²=x³-6x²+9x+3，
故g′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；
列表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增函数		减函数		增函数

∴增区间为：（-∞，1），（3，+∞）； 减区间为：（1，3）；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2ax-3；
∵f（x）在[1+

2

，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在[1+

2

，+∞）恒成立，
即a≤

3x2-3

2x

在[1+

2

，+∞）恒成立，
a≤（

3x2-3

2x

）_min=3；
又∵f′（x）在（-∞，1]上是减函数，
∴

a

3

≥1，
∴a≥3；
故a=3．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．