Question

对任意的x∈N^*都有f（x）∈N^*，且f（x）满足：f（n+1）＞f（n），f（f（n））=3n，则（1）f（1）=

 

；（2）f（10）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用f（f（n））=3n，推得f（f（1））=3，由f（x）∈N*，知f（1）≥2，故f（2）≤f（f（1））=3，再由f（2）＞f（1）≥2，可得2≤f（1）＜f（2）≤3
故f（1）=2，f（2）=3；
（2）推导f（9）=f（f（6））=18、f（18）=f（f（9））=27
由18=f（9）＜f（10）＜f（11）＜…＜f（18）=27，则f（k）=k+9…9≤k≤18，代入k=10即可得到结果．

解答： 解：（1）∵f（f（n））=3n，
∴f（f（1））=3，
若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=3，与f（1）=1矛盾，故f（1）≠1，
∵f（x）∈N*，∴f（1）≥2，
∵f（x）在大于0上是单调增函数，
∴f（2）≤f（f（1））=3，
又由f（2）＞f（1）≥2，
可得2≤f（1）＜f（2）≤3，
故f（1）=2，f（2）=3，
所以f（1）=2，
故答案为：2．
（2）因为 f（3）=f（f（2））=6，
f（6）=f（f（3））=9，
且f（3）＜f（4）＜f（5）＜f（6），
所以f（4）=7，f（5）=8，
所以f（9）=f（f（6））=18，
f（18）=f（f（9））=27，
因为18=f（9）＜f（10）＜f（11）＜…＜f（18）=27，
则f（k）=k+9…9≤k≤18．
所以f（10）=10+9=19．
故答案为：19．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，关键是反复利用抽象函数中所给的条件．