Question

已知函数f（x）=ax³+bx²在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f(x)=-

1

2

x2+m有三个不同的解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若不等式f(x)-

3

2

x2+(k+1)x≥0(k∈R)对于x∈（-∞，0）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由切点在切线上，和导函数在切点处的值为切线的斜率得出方程组，求出a，b的值；
（Ⅱ）构造函数，由图象知m的值为小于极大值且大于极小值；
（Ⅲ）将不等式变形，使k在不等式一边，构造函数，恒成立，即k小于或等于函数的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵切点（3，f（3））在切线上，∴12×3+2f（3）-27=0，得f（3）=-

9

2

，
∴27a+9b=-

9

2

，即6a+2b=-1①，
又f′（x）=3ax²+2bx，3a×3²+2b×3=-6，即9a+2b=-2 ②
由①②解得a=-

1

3

，b=

1

2

，∴函数解析式为f(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2；
（Ⅱ）f(x)=-

1

2

x2+m，即-

1

3

x³+x²=m，
令g（x）=-

1

3

x³+x²，令g′（x）=-x²+2x＞0得，0＜x＜2，
∴g（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
∴g（x）的极小值为g（0）=0，极大值为g(2)=-

8

3

+4=

4

3

，实数m的取值范围为(0，

4

3

)；
（Ⅲ）由f(x)-

3

2

x2+(k+1)x≥0(k∈R)得；k≤

1

3

x²+x-1=

1

3

（x+

3

2

）²-

7

4

，
又∵

1

3

（x+

3

2

）²-

7

4

≥-

7

4

，
∴k≤-

7

4

，即实数k的取值范围是（-∞，-

7

4

]．

点评：本题考查了，利用导数求切线，数形结合，化归思想，解决恒成立问题．