Question

若在（x+1）⁴（ax-1）²的展开式中x的系数是6，则a=

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：方法一、运用二项式定理展开，分析x的系数，注意一个取一次项，一个取常数项，列方程解出即可；
方法二、分别运用通项公式，再将它们相乘，令x的指数为1，讨论r，m的取值，相加即可．

解答： 解法一、∵（x+1）⁴=x⁴+4x³+6x²+4x+1，
（ax-1）²=a²x²-2ax+1，
∴（x+1）⁴（ax-1）²的展开式中x的系数为：4-2a，
又∵x的系数是6，
∴4-2a=6，
∴a=-1，
解法二、∵（x+1）⁴的通项公式T_r+1=

C

r 4

x^4-r，其中r=0，1，2，3，4，
（ax-1）²的通项公式是T_m+1=

C

m 2

（ax）^2-m•（-1）^m，其中m=0，1，2，
∴（x+1）⁴（ax-1）²的展开式通项为：

C

r 4

•

C

m 2

•a2-m•(-1)m•x6-r-m，
∵要求展开式中x的系数，可令6-r-m=1，即r+m=5，
∴

r=4 m=1

或

r=3 m=2

，
∴（x+1）⁴（ax-1）²的展开式中x的系数为：

C

4 4

•

C

1 2

•a•(-1)+

C

3 4

•

C

2 2

=4-2a，
又（x+1）⁴（ax-1）²的展开式中x的系数是6，
∴4-2a=6，∴a=-1，
故答案为：-1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，注意某项的 系数和二项式系数的区别．