Question

12．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=6，|$\overrightarrow{AC}$|=2|$\overrightarrow{BC}$|，则△ABC的面积的最大值是12．

Answer 1

分析 建立坐标系，求出C的轨迹方程，即可求得三角形面积的最大值．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则A（-3，0），B（3，0）
设C（x，y），
∵|$\overrightarrow{AC}$|=2|$\overrightarrow{BC}$|，∴$\frac{\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}$=2，
化简可得（x-5）²+y²=16，
即C的轨迹是一（5，0）为圆心，4为半径的圆，
∴三角形ABC的面积的最大值为$\frac{1}{2}×6×4$=12．
故答案为：12．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，属于中档题．