Question

17．已知函数f（x）=2^x+2^ax（a为实数），且f（1）=$\frac{5}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）判断函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据条件利用待定系数法进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明，
（3）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2^x+2^ax（a为实数），且f（1）=$\frac{5}{2}$．
∴f（1）=2+2^a=$\frac{5}{2}$．得2^a=$\frac{1}{2}$，即a=-1，
则函数f（x）的解析式f（x）=2^x+2^-x；
（2）f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
则函数f（x）是奇函数．
（3）设0≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$），
∵y=2^x是增函数，∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，又1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函数f（x）是增函数．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调性和奇偶性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．