Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²，（k∈R）．
（1）若x=0是f（x）的极大值点，求实数k的取值范围；
（2）当k∈（

1

2

，1]时，求函数f（x）在[0，k]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，再讨论①若k≤0，②若0＜k＜

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2

，③若k=

1

2

，④若k＞

1

2

时的情况，从而求出k的范围；
（Ⅱ）令g（k）=ln（2k）-k，则g′（k）=

1-k

k

≥0，得g（k）在（

1

2

，1]上递增，从而ln（2k）＜k，进而ln（2k）∈[0，k]，由（Ⅰ）中④可知当x=ln（2k）时，f（x）取到最小值，求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=x（e^x-2k），
①若k≤0，令f′（x）=0，解得：x=0，
x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0，
∴x=0是f（x）的极小值点，不合题意；
②若0＜k＜

1

2

，令f′（x）=0，解得：x=0或x=ln（2k），ln（2k）＜0，
∴f（x）在（-∞，ln（2k）），（0，+∞）递增，在（ln（2k），0）递减，
∴x=0是函数f（x）的极小值点，不合题意；
③若k=

1

2

，f′（x）=x（e^x-1），
x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＞0，
x=0时，f′（x）=0，
∴f（x）在R上递增，f（x）没有极值点；
④若k＞

1

2

，令f′（x）=0，解得：x=0或x=ln（2k），ln（2k）＞0，
∴f（x）在（-∞，0），（ln（2k），+∞）递增，在（0，ln（2k））递减，
∴x=0是f（x）的极大值点．
（Ⅱ）令g（k）=ln（2k）-k，则g′（k）=

1-k

k

≥0，
∴g（k）在（

1

2

，1]上递增，
∴g（k）≤ln2-1＜0，
∴ln（2k）＜k，
∴ln（2k）∈[0，k]，
由（Ⅰ）中④可知当x=ln（2k）时，f（x）取到最小值为：
f（ln（2k））=-kln²（2k）+2kln（2k）-2k．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道综合题．