Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（

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）=1，对于x，y∈（0，+∞），当且仅当x＞y时f（x）＜f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（-x）+f（3-x）≥-2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）可得f（1）；
（2）在f（xy）=f（x）+f（y）中给xy取值得出f（4）=-2，把f（-x）+f（3-x）≥-2转化为f[-x（3-x）]≥f（4），利用单调性解不等式．

解答： 解：（1）∵函数定义在（0，+∞）上，且满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1代入上式得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
（2）令x=2，y=

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代入f（xy）=f（x）+f（y），
f（1）=f（2）+f（

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）=f（2）+1，而f（1）=0，
∴f（2）=-1，
令x=2，y=2代入f（xy）=f（x）+f（y），得f（4）=f（2）+f（2）=-2，
∵f（-x）+f（3-x）=f[-x（3-x）]
∴f（-x）+f（3-x）≥-2可化为f[-x（3-x）]≥f（4），
又对于x，y∈（0，+∞），当且仅当x＞y时f（x）＜f（y），
∴函数f（x）为（0，+∞）上的减函数，
∴

-x＞0 3-x＞0 -x(3-x)≤4

解得-1≤x＜0

点评：本题考查了抽象函数的应用，考查了函数的单调性的判断，训练了特值法求函数的值，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，属中档题．