Question

3．已知p：“?x＞0，有lnx+1≤x＜e^x成立”，q：“十进制数2017转化为八进制数为1473_（8）”，则下列命题为真的是（　　）

• A． p∧q
• B． （￢p）∨q
• C． p∨（￢q）
• D． （￢p）∧（￢q）

Answer 1

分析 p：令f（x）=x-lnx（x＞0），则f′（x）=$\frac{x-1}{x}$，可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）≥f（1）=1＞0，可得x＞lnx．令g（x）=e^x-x，（x＞0），同理可得e^x＞x．即可判断出真假．
q：如图所示，“十进制数2017转化为八进制数为3741_（8）”，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．

解答 解：p：令f（x）=x-lnx（x＞0），则f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）≥f（1）=1＞0，∴x＞lnx．令g（x）=e^x-x，（x＞0），同理可得e^x＞x．因此“?x＞0，有lnx+1≤x＜e^x成立”，是真命题．
q：如图所示，“十进制数2017转化为八进制数为3741_（8）”，因此为假命题．
则下列命题为真的是p∨（￢q）．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、进位制、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．