Question

13．已知$sin（{α-β}）cosα-cos（{β-α}）sinα=\frac{4}{5}$，β是第三象限角，求$sin（{β+\frac{5}{4}π}）$，$cos（{β+\frac{π}{3}}）$的值．

Answer 1

分析 由已知利用两角差的正弦求得sinβ，进一步求得cosβ，最后分别展开两角和的正弦、余弦求得$sin（{β+\frac{5}{4}π}）$，$cos（{β+\frac{π}{3}}）$的值．

解答 解：由$sin（{α-β}）cosα-cos（{β-α}）sinα=\frac{4}{5}$，得sin（α-β）cosα-cos（α-β）sinα=$\frac{4}{5}$，
即sin（-β）=$\frac{4}{5}$，得sinβ=$-\frac{4}{5}$．
又β是第三象限角，∴cosβ=$-\frac{3}{5}$．
∴$sin（{β+\frac{5}{4}π}）$=sinβcos$\frac{5π}{4}$+cosβsin$\frac{5π}{4}$=（-$\frac{4}{5}$）×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+（-$\frac{3}{5}$）×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
$cos（{β+\frac{π}{3}}）$=cosβcos$\frac{π}{3}$-sinβsin$\frac{π}{3}$=（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{1}{2}$（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$-\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的正弦、余弦的应用，是基础题．