Question

已知

a

=（1-cosx，sinx），

b

=（1+cosx，cosx）
（Ⅰ）若

a

•

b

=1，求x的值
（Ⅱ） 若f（x）=

a

•

b

+cosx（a-sinx）+1，x∈[

π

6

，

π

3

]且f（x）≤0恒成立，求a的取值范围？

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）根据向量的垂直的条件，即数量积等于0，利用三角函数求出x的值即可．
（Ⅱ）利用平面向量的数量积，得到f（x）的关系式，再根据f（x）≤0恒成立，转化为a≤cosx-

2

cosx

，继而求出函数的最小值即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（1-cosx，sinx），

b

=（1+cosx，cosx），
∴

a

•

b

=（1-cosx）（1+cos）+sinxcosx=1-cos²x+sinxcosx=1，
∴cosx（cosx-sinx）=0，
∴cosx=0．或cosx-sinx=0，
即x=kπ+

π

2

，或x=2kπ-

π

4

，k∈z．
（2）∵f（x）=

a

•

b

+cosx（a-sinx）+1=1-cos²x+sinxcosx+cosx（a-sinx）+1=2-cos²x+acosx，
又x∈[

π

6

，

π

3

]且f（x）≤0恒成立，
∴2-cos²x+acosx≤0，在x∈[

π

6

，

π

3

]恒成立，
∴a≤cosx-

2

cosx

令f（x）=cosx-

2

cosx

令t=cosx，则t∈[

1

2

，

3

2

]
则f（t）=t-

2

t

，
∴f′（t）=1+

2

t2

＞0恒成立，
∴函数f（t）为增函数，当t=

1

2

，有最小值，即f（

1

2

）=

1

2

-2=--

3

2

，
∴a≤-

3

2

，
故a的取值范围为（-∞，-

3

2

]

点评：本题查了平面向量的数量积的计算，三角函数的化简，构造函数，利用导数的应用及恒成立问题的解法，利用导函数分类求得不等式恒成立的条件是解答本题的关键．．