Question

函数f（x）=x²（e^x-1+ax+b），已知x=-2和x=1为y=f′（x）的零点．
（1）求a和b的值；
（2）设g（x）=

2

3

x³-x²，证明：对?x∈（-∞，+∞）恒有f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，得方程组，从而求出a，b的值；
（2）先求出f（x）-g（x）=x²（e^x-1-1），令h（x）=e^x-1-x，通过求导得出h（x）≥h（1），也就是恒有h（x）≥0，从而证明结论．

解答： 解：（1）f'（x）=2e^x-1+x²e^x-1+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），由x=-2和x=1为y=f'（x）的零点知

x	（-∞，0）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘	0	↗

f′(-2)=0 f′(1)=0

即

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

，解得：

a=- 1 3 b=-1

．
（2）证明：由（1）得f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2，故f(x)-g(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2-

2

3

x3+x2=x2(ex-1-x)．
令h（x）=e^x-1-x，则h'（x）=e^x-1-1．
令h'（x）=0，得x=1h'（x）、h（x）随x的变化情况如上表，
由上表可知，当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；
即当x∈（-∞，+∞）时，h（x）≥h（1），也就是恒有h（x）≥0．
又x²≥0，故对任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）-g（x）≥0．

点评：本题考查了函数的单调性，不等式的证明，本题属于中档题．