Question

已知函数f（x）=xe^x-x-2在区间[k，k+1]上有解，则实数k的取值集合是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=0得e^x=

x+2

x

=1+

2

x

，然后分别作出函数y=e^x，与y=1+

2

x

的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：当x=0时，f（0）=-2＜0，∴0不是函数的零点，
当x≠0，由f（x）=xe^x-x-2=0得xe^x=x+2，
即e^x=

x+2

x

=1+

2

x

，
设函数y=e^x，与y=1+

2

x

，分别作出函数y=e^x，与y=1+

2

x

的图象如图：
由图象可知两个函数的交点个数为2个，
由图象可知函数零点所在的区间分别为[-3，-2]和[1，2]上，
故k=-3或k=1，
即实数k的取值集合是{-3，1}，
故答案为：{-3，1}

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．