Question

12．在由正数组成的等比数列{a_n}中，若a₃a₄a₅=3^π，则sin（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₇）的值为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用对数的基本运算化简log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₇，通过a₃a₄a₅=3^π，求出对数的值，然后求解即可．

解答 解：因为由正数组成的等比数列{a_n}中，a₃a₄a₅=3^π，所以a₄³=3^π，a₄=3${\;}^{\frac{π}{3}}$，
∴log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₇
=log₃${\;}^{{a}_{1}•{a}_{2}•{a}_{3}•{a}_{4}•{a}_{5}•{a}_{6}•{a}_{7}}$=log₃${{a}_{4}}^{7}$=7log₃${\;}^{{a}_{4}}$=7log₃${3}^{\frac{π}{3}}$=$\frac{7π}{3}$．
∴sin（log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₇）
=sin$\frac{7π}{3}$=sin（2π+$\frac{π}{3}$）
=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案是：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题是基础题，考查等比数列等比中项的应用，对数的基本运算，正弦的三角函数值的求法，考查计算能力．