Question

2．已知在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线C₂的方程为ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），曲线C₁、C₂交于A、B两点．
（Ⅰ）若p=2且定点P（0，-4），求|PA|+|PB|的值；
（Ⅱ）若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₂的方程为ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ²sin²θ=2pρcosθ（p＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．将曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与抛物线方程联立得：${t}^{2}-12\sqrt{2}$t+32=0，可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．
（Ⅱ）将曲线C₁的参数方程与y²=2px联立得：t²-2$\sqrt{2}$（4+p）t+32=0，又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，可得|AB|²=|PA||PB|，可得$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}$=|t₁||t₂|，即$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$=5t₁t₂，利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₂的方程为ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），即为ρ²sin²θ=2pρcosθ（p＞0），
∴曲线C₂的直角坐标方程为y²=2px，p＞2．
又已知p=2，∴曲线C₂的直角坐标方程为y²=4x．
将曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与y²=4x联立得：${t}^{2}-12\sqrt{2}$t+32=0，
由于△=$（-12\sqrt{2}）^{2}$-4×32＞0，
设方程两根为t₁，t₂，
∴t₁+t₂=12$\sqrt{2}$，t₁•t₂=32，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=12$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）将曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与y²=2px联立得：t²-2$\sqrt{2}$（4+p）t+32=0，
由于△=$[-2\sqrt{2}（4+p）]^{2}$-4×32=8（p²+8p）＞0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（4+p），t₁•t₂=32，
又|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，
∴|AB|²=|PA||PB，
∴$|{t}_{1}-{t}_{2}{|}^{2}$=|t₁||t₂|，
∴$（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}$=5t₁t₂，
∴$[-2\sqrt{2}（4+p）]^{2}$=5×32，
∴p²+8p-4=0，解得：p=-4$±2\sqrt{5}$，
又p＞0，
∴p=-4+2$\sqrt{5}$，
∴当|PA|，|AB|，|PB|成等比数列时，p的值为-4+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、参数方程的应用、弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．