Question

7．已知向量$\overrightarrow a$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+m$（x∈R），其中m为常数．
（1）求函数y=f（x）的周期；
（2）如果y=f（x）的最小值为0，求m的值，并求此时f（x）的最大值及取得最大值时自变量x的集合．

Answer 1

分析 （1）由两向量的坐标，利用平面向量数量积运算法则确定出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可得到结果；
（2）根据f（x）的最小值为0，确定出m的值，进而确定出f（x）解析式，求出最大值，以及此时x的集合即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x，
∴f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+m=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+m+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
∵ω=2，T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）f（x）_min=-2+m+1=0，即m=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，f（x）_max=2+2=4，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z时，函数f（x）取得最大值，
则函数f（x）取值最大值时，自变量x的集合为{x|x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z}．

点评 此题考查了平面向量的数量积的运算，三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的最值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．