Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ABB₁⊥平面ABC，O是AB的中点．
（Ⅰ）在线段CC₁上是否存在点D，使得OD∥平面A₁C₁B，若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）若AA₁=A₁B=AC=BC，AA₁与平面ABC所成的角为

π

4

，求二面角O-A₁C₁-A的正切值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,棱锥的结构特征,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）线段CC₁上存在点D，当D为线段CC₁中点时，OD∥平面A₁C₁B．取BC中点E，连结OD、DE、OE，由三角形中位线定理能证明平面ODE∥平面A₁C₁B，从而得到OD∥平面A₁C₁B．
（Ⅱ）取AC中点F，连结OF，FA₁，AA₁与平面ABC所成的角为∠A₁AB=45°，由已知条件推导出∠OA₁F是二面角O-A₁C₁-A的平面角，由此能求出二面角O-A₁C₁-A的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）线段CC₁上存在点D，当D为线段CC₁中点时，OD∥平面A₁C₁B．
证明如下：
取BC中点E，连结OD、DE、OE，
∵DE是△BCC₁的中位线，∴DE∥BC₁，
∵OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，又AC∥A₁C₁，∴OE∥A₁C₁，
∴平面ODE∥平面A₁C₁B，
∵OD?平面ODE，∴OD∥平面A₁C₁B．
（Ⅱ）取AC中点F，连结OF，FA₁，
∵AA₁=A₁B，O是AB的中点，∴A₁O⊥AB，
又平面A₁ABB₁⊥平面ABC，∴A₁O⊥平面ABC，
则AA₁与平面ABC所成的角为∠A₁AB=45°，
且A₁O⊥AC，
∵AA₁=A₁B=AC=BC，
∴△A1AB ，△ABC均为等腰直角三角形，
∵OF是△ABC的中位线，∴OF⊥AC．
∴AC⊥平面A₁OF，
∵AC∥A₁C₁，∴A₁C₁⊥平面A₁OF，
∴A₁C₁⊥OG，∴A₁C₁⊥AO，
∴∠OA₁F是二面角O-A₁C₁-A的平面角，
在Rt△A₁OF中，OF=

1

2

BC，A1O=

2

2

BC，
∴tan∠OA1F=

2

2

．

点评：本题考查满足直线与平面平行的点是否存在的判断，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．