Question

16．已知关于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的两个实根分别为一个椭圆，一个双曲线的离心率，则$\frac{b}{a}$的取值范围（　　）

• A． $（-1，-\frac{1}{2}）$
• B． （-1，0）
• C． （-2，+∞）
• D． $（-2，-\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 令f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，由于关于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的两个实根分别为x₁，x₂，且0＜x₁＜1，x₂＞1，可得f（0）＞0，f（1）＜0，再利用线性规划的有关知识即可得出．

解答 解：令f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，
∵关于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的两个实根分别为一个椭圆，一个双曲线的离心率，
∴x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的两个实根分别为x₁，x₂，且0＜x₁＜1，x₂＞1，
∴f（0）＞0，f（1）＜0，
∴a+b+1＞0，1+a+1+a+b+1＜0，
即a+2b+1＞0，2a+b+3＜0，
设$\frac{b}{a}$=k，即b=ka，
联立$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=0}\\{2a+b+3=0}\end{array}\right.$，解得P（-2，1）．
∴-2＜k＜-$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的性质、线性规划的有关知识、一元二次方程有实数根的条件，属于中档题．