Question

11．若x²⁰¹⁷=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…a₂₀₁₇（x-1）²⁰¹⁷，则$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{{a}_{2017}}{{3}^{2017}}$=（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁷-1．

Answer 1

分析 由题意可令x=1，以及x=$\frac{4}{3}$，代入恒等式，计算即可得到所求和．

解答 解：x²⁰¹⁷=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…a₂₀₁₇（x-1）²⁰¹⁷，
可令x=1，可得a₀=1，
再令x=$\frac{4}{3}$，可得（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁷=1+$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{{a}_{2017}}{{3}^{2017}}$，
则$\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+…+\frac{{a}_{2017}}{{3}^{2017}}$=（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁷-1，
故答案为：（$\frac{4}{3}$）²⁰¹⁷-1．

点评 本题考查二项式定理的应用，注意运用赋值法，考查推理和运算能力，属于中档题．