Question

过x轴上动点A（a，0），引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ．切线斜率分别为k₁和k₂，切点分别为P、Q．
（1）求证：k₁•k₂为定值；并且直线PQ过定点；
（2）记S为面积，当

S△APQ

| PQ |

最小时，求

AP

•

AQ

的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设出直线方程，与抛物线联立，由韦达定理得出：k₁•k₂的值；设出P、Q两点坐标，写出PQ方程，由根与系数关系代入并化简求出定点坐标；
（2）当

S△APQ

| PQ |

最小时，即A点到直线PQ的距离的最小值，利用基本不等式，求出a的值，代入

AP

•

AQ

式子中即可．

解答： 解：（1）证明：易知切线的斜率存在，设过A点的直线为：y=k（x-a），
由

y=k(x-a) y =x 2+1

得：x²-kx+ka+1=0，△=k²-4ak-4=0，
∴k₁+k₂=4a，k₁•k₂=-4为定值．
由y=x²+1，得y'=2x，设切点P、Q坐标分别为P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q），k₁=2x_p，k₂=2x_q
∴x_p+x_q=2a，x_p•x_q=-1，
PQ的直线方程：y-yp=

yp-yq

xp-xq

(x-xp)，由yp=xp2+1，yq=xq2+1
得到y=(xp+xq)x-xp

x

q

+1
整理可得y=2xa+2，∴直线PQ过定点（0，2）．
（2）解：设A到PQ的距离为d．则S△APQ=|PQ|×

d

2

，
∴

S△APQ

|PQ|

=

d

2

=

2a2+2

2 4a2+1

=

a2+1

4a2+1

，
设t=

4a2+1

≥1，∴

S△APQ

|PQ|

=

t2+3

4t

≥

3

2

，
当且仅当t=

3

时取等号，即a=±

2

2

．
∵

AQ

•

AP

=(xp-a，yp)•(xQ-a，yQ)=xpxQ-a(xp+xQ)+a2+ypyQ
又∵ypyQ=(2xpa+2)(2xQa+2)=4a2xpxQ+4+4a(xp+xQ)=4a2+4
所以

AQ

•

AP

=3a2+3=

9

2

．

点评：本题是考查直线与圆锥曲线相交、定点、定值、最值的问题，用到设而不求，韦达定理，基本不等式，等价转换等思想．是一道综合性非常强的圆锥曲线问题．