Question

设函数f（x）=

x

lnx

-ax，若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为2．
（Ⅰ）求a的值；     
（Ⅱ）求f（x）在（1，+∞）上的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由切线的斜率为2，得到a的方程，即可求得a；
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，根据x＞1，令导数大于0，得到增区间，令导数小于0，得到减区间，
从而得到函数的极小值，无极大值．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

-a⇒f′(e)=-a=2⇒a=-2
（Ⅱ）f′(x)=

lnx-1

(lnx)2

+2=

2(lnx)2+lnx-1

(lnx)2

=

(2lnx-1)(lnx+1)

(lnx)2

≥0⇒x≥

e

则函数f（x）的单调递增区间为(

e

，+∞)，
令f′（x）＜0，得1＜x＜

e

，
单调递减区间为(1，

e

)；
则f（x）在x=

e

处取极小值f(

e

)=4

e

，无极大值．

点评：本题考查导数的几何意义，考查导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．