Question

已知y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，则f（1-x²）是增函数的区间是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（-∞，0]
• C、[-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1]∪（0，1]

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题

分析：y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（-∞，0]是增函数，
复合函数的单调性：y=f（t），t=u（x），当f（t）与u（x）都是增函数，或都是减函数时，
y=f（u（x））才是增函数．

解答： 解：∵y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，
∴在（-∞，0]是增函数，
令t=1-x²    ，要使f（t）是增函数，应有t≤0 时t是增函数，或者t≥0时，t是减函数．
∵t≤0时，有 x≥1 或x≤-1，
t=1-x²    在（-∞，-1]上是增函数，f（1-x²）是增函数，
t≥0时，1≥x≥-1，
t=1-x²  在（0，1]上是减函数，f（1-x²）是增函数，
则f（1-x²）是增函数的区间是 （-∞，-1]∪（0，1]，
故选  D．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，对复合函数，只有内层函数和外层函数都是增函数或都是减函数时，它才是增函数．