Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆的切线的判定定理的证明

专题：推理和证明

分析：（1）连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线．
（2）DM=OD-OM=

1

2

（AC-AB），从而DM•AC+DM•AB=

1

2

（AC-AB）•（AC+AB）=

1

2

BC²，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．

解答： 证明：（1）连接BE，OE，
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，
∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，
∴∠ABE=∠C，
∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，
∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，
∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，
∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线．
（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴DM=OD-OM=

1

2

（AC-AB），
∴DM•AC+DM•AB
=DM•（AC+AB）
=

1

2

（AC-AB）•（AC+AB）
=

1

2

（AC²-AB²）
=

1

2

BC²
=DE•BC．
∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．

点评：本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．