Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n．S_n满足（t-1）S_n=t（a_n-2）（t为常数，t≠0且t≠1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（-a_n）•log₃（1-S_n），当t=

1

3

时，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用（t-1）S_n=t（a_n-2），及S_n+1-S_n=a_n+1，推出a_n+1=ta_n，然后求出数列的通项公式．
（2）利用t=

1

3

时，化简出bn=

2n

3n

，然后利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由（t-1）S_n=t（a_n-2），及（t-1）S_n+1=t（a_n+1-2），作差得a_n+1=ta_n，
即数列{a_n}成等比数列，an=a1tn-1，
当n=1时，（t-1）S₁=t（a₁-2），解得a₁=2t，故an=2tn．
（2）当t=

1

3

时，an=2•(

1

3

)n，1-Sn=

1

3n

，bn=(-an)•log3(1-Sn)=

2n

3n

，
Tn=

2

3

+

4

32

+

6

33

+…+

2n

3n

，

1

3

Tn=

2

32

+

4

33

+

6

34

+…+

2n

3n+1

，
作差得

2

3

Tn=

2

3

+

2

32

+

2

33

+

2

34

+…+

2

3n

-

2n

3n+1

=1-

1

3n

-

2n

3n+1

=1-

2n+3

3n+1

，
所以Tn=

3

2

-

2n+3

2•3n

．

点评：本题考查数列求和的方法，错位相减法的应用，等比数列的判断是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．