Question

16．如图，三棱锥S-ABC，E，F分别在线段AB，AC上，EF∥BC，△ABC，△SEF均是等边三角形，且平面SEF⊥平面ABC，若BC=4，EF=a，O为EF的中点．
（1）求证：BC⊥SA．
（2）a为何值时，BE⊥平面SCO．

Answer 1

分析 （1）利用平面SEF⊥平面ABC，得出SO⊥平面ABC，BC⊥SO，
再由等边△ABC中AO⊥BC，得出BC⊥平面AOS，从而证明BC⊥AS；
（2）由SO⊥平面ABC得SO⊥BE，要使BE⊥平面SCD，则需BE⊥CO，
利用AE=EF求出a的值，得出此时BE⊥平面SCO．

解答 解：（1）证明：因为平面SEF⊥平面ABC，O为EF的中点，
且SE=SF，
∴SO⊥EF，
∴SO⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，BC⊥SO，
而在等边△ABC中，AO⊥BC，
且SO∩AO=O，
∴BC⊥平面AOS，
又AS?平面AOS，∴BC⊥AS；
（2）平面SEF⊥平面ABC，O为EF的中点，且SE=SF，

∴SO⊥平面ABC，故SO⊥BE，
要使BE⊥平面SCD，则需BE⊥CO，
延长CO交AB于D，则CD⊥AB，
DE=$\frac{1}{2}$EO=$\frac{1}{4}$a，
AD=2，
∴AE=2+$\frac{1}{4}$a，
即AE=EF
2+$\frac{1}{4}$a=a，
解得a=$\frac{8}{3}$；
∴a=$\frac{8}{3}$时，BE⊥平面SCO．

点评 本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，是综合性题目．