Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面AA₁B₁B，四边形AA₁B₁B是矩形，且AB=1，AC=2，BC=$\sqrt{5}$．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）若直线BC₁与平面ABC所成角的正弦值为$\frac{2}{3}$，求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AA₁⊥AB，由此能证明AA₁⊥平面ABC．
（2）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值．

解答 证明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形AA₁B₁B是矩形，
∴AA₁⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA₁B₁B，且AA₁垂直于这两个平面的交线AB，
∴AA₁⊥平面ABC．
解：（2）由（1）知AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∵AB=1，AC=2，BC=$\sqrt{5}$，∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
由（1）知CC₁⊥平面ABC，
∴直线BC₁与平面ABC所成角的大小即为∠C₁BC的大小，
由已知得tan$∠{C}_{1}BC=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴CC₁=2，则C₁（2，0，2），B（0，1，0），B₁（0，1，2），A₁（0，0，2），
$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（0，-1，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（2，-1，2），
设平面A₁BC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=-y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=2x-y+2z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，1），
同理求得平面BB₁C₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，2，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{5}$，
由图知二面角A₁-BC₁-B₁的平面角为锐角，
∴二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．