Question

11．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠A₁AB=∠A₁AD=∠DAB=60°，A₁A=AB=AD，则CC₁与BD所成角为（　　）

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 由已知推导出CC₁∥BB₁，从而∠DBB₁是CC₁与BD所成角（或所成角的补角），由已知得$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}_{1}}$，设A₁A=AB=AD=1，则BD=1，求出DB₁=$\sqrt{2}$，由此能求出CC₁与BD所成角．

解答 解：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵∠A₁AB=∠A₁AD=∠DAB=60°，A₁A=AB=AD，
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}_{1}}$，
∴CC₁∥BB₁，∴∠DBB₁是CC₁与BD所成角（或所成角的补角），
设A₁A=AB=AD=1，则BD=1，
$\overrightarrow{D{B}_{1}}$²=${\overrightarrow{DA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}^{2}}$+2|$\overrightarrow{DA}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos120°+2|$\overrightarrow{DA}$|•|$\overrightarrow{B{B}_{1}}$|cos120°+2|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{B{B}_{1}}$|cos60°
=1+1+1-1-1+1=2，
∴DB₁=$\sqrt{2}$，
∴$D{B}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}=D{{B}_{1}}^{2}$，
∴∠DBB₁=90°，
∴CC₁与BD所成角为90°．
故选：D．

点评 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．