Question

已知函数f（x）=

kx-b

x2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

4

5

．
（1）求f（x）的解析式
（2）判断并用单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上的单调性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=

kx-b

x2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

4

5

．可得f（0）=0，且f（

1

2

）=

4

5

．解出即可．
（2）利用函数单调性的定义即可证明．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

kx-b

x2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

4

5

．
∴f（0）=0，且f（

1

2

）=

4

5

．
∴

b=0 1 2 k-b 1 4 +1 = 4 5

，解得b=0，k=2．
∴f（x）=

2x

x2+1

．x∈（-1，1）．
（2）函数f（x）在x∈（-1，1）单调递增．
证明：?-1＜x₁＜x₂＜1，则x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，

x

2 1

+1＞0，

x

2 2

+1＞0．
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

x 2 1 +1

-

2x2

x 2 2 +1

=

2(x2-x1)(x1x2-1)

(x12+1)( x 2 2 +1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）在x∈（-1，1）单调递增．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，属于基础题．