Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA₁⊥平面ABC，D，E，I分别是CC₁，AB，AA₁的中点．
（1）求证：面CEI∥平面A₁BD；
（2）若H为A₁B上的动点，CH与平面A₁AB所成的最大角的正切值为

15

2

，求侧棱AA₁的长．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明面CEI∥平面A₁BD，只需证明EI∥平面A₁BD，CE∥平面A₁BD，利用三角形的中位线、平行四边形的性质可以证明；
（3）先说明连接EH，则∠EHC为CH与平面AA₁B所成的角，再在△CEH中，利用正切函数，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵E，I分别是AB，AA₁的中点，
∴EI∥BA₁，
∵EI?平面A₁BD，BA₁?平面A₁BD，
∴EI∥平面A₁BD，
取BA₁的中点G，连接EG，DG，
∴GE平行且等于

1

2

AA₁，
∵D是CC₁中点，
∴CD平行且等于

1

2

AA₁，
∴GE平行且等于CD，
∴四边形GDCE是平行四边形，
∴CE∥GD，
∵CE?平面A₁BD，GD?平面A₁BD，
∴CE∥平面A₁BD，
∵CE∩EI=E，
∴平面A₁BD∥面CEI；
（2）∵AA₁⊥面ABC，CE?面ABC，
∴AA₁⊥CE
又△ABC等边三角形，E是中点，
∴CE⊥AB，CE=

3

2

AB=

3

所以CE⊥面AA₁B，
连接EH，则∠EHC为CH与平面AA₁B所成的角，
在Rt△CEH中，tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

，
所以EH最短时∠EHC最大
此时，EH⊥A₁B，
∴tan∠EHC=

CE

EH

=

3

EH

=

15

2

，∴EH=

2 5

5

由平几相似关系得AA₁=4．

点评：本题考查线面垂直，线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握面面平行的判定方法，正确作出线面角．